Hvis man ønsker at sammenligne to givne mængder og , så er det
ofte nyttigt at studere mængden af afbildninger mellem disse mængder.
Hvis f.eks. og er endelige mængder, så vil de indeholde det
samme antal elementer hvis og kun hvis der eksisterer en bijektiv
afbildning mellem dem. Tilsvarende vil
indeholde færre, eller det samme, antal elementer som , såfremt
der eksisterer en injektiv afbildning . Når og
har en ekstra struktur, som f.eks. i form af -vektorrum, så er
det fornuftigt kun at betragte afbildninger, der respekterer
denne struktur. For vektorrum er den fornuftige definition:
[Lineær transformation]
Lad og betegne -vektorrum. En afbildning
kaldes en
lineær transformation (fra til ), eller en lineær afbildning,
hvis følgende identiteter er opfyldt for alle og
:
.
.
Såfremt , så kaldes også for en lineær
operator (på ).
Lad betegne en afbildning
mellem de reelle vektorrum og . Angiv
hvornår er en lineær transformation.
for
for
for
for
Egenskab (1.) og (2.) i
Definition 6.1 omtales kort, som at respekterer hhv. addition
og skalarmultiplikation. Vi skynder os at bemærke følgende egenskaber
ved lineære transformationer:
Lad og betegne -vektorrum, og
lad betegne en lineær transformation. Lad derudover betegne elementer i og betegne skalarer. Så gælder der, at
Vi argumenterer via induktion i . Hvis
, så følger udsagnet fra
Definition 6.1(2.). Antag derfor,
at og at udsagnet er vist i tilfælde
med summander. Så
hvilket afslutter beviset.
Lad betegne en lineær transformation mellem
-vektorrum og . Så:
Jf. Proposition 5.2(1.)
er , og
dermed
ifølge Proposition 5.2(1.).
Tilsvarende så implicerer
Definition 6.1(2.), at
og Korollar 6.3(2.)
følger da af Proposition 5.2(3.).
Afbildningen defineret ved , for alle , er en lineær transformation.
For et -vektorrum er identitetsafbildningen en lineær operator.
For et underrum af et vektorrum er afbildningen
en lineær transformation.
Lad . Den tilhørende afbildning
er en lineær transformation.
Dette følger af identiteterne
og
Lad betegne et -vektorrum, og lad
betegne en samling af elementer i .
Afbildningen
er da en lineær transformation.
Lad betegne mængden af kontinuert
differentiable funktioner på et åbent interval i . Ethvert
element i har dermed en kontinuert
differentialkvotient . Den tilsvarende afbildning
er en lineær transformation idet (for alle og
)
.
.
Lad betegne et lukket interval. Enhver
kontinuert reel funktion på kan integreres over .
Den tilhørende afbildning
er en lineær transformation idet (for alle og
)
.
.
Lad betegne et åbent interval i . For en kompleks funktion
defineres den tilsvarende
differentialkvotient ved
hvilket giver mening, idet , jf. Eksempel 5.7. Den tilsvarende afbildning
er da en lineær transformation.
For et lukket interval og en kompleks funktion defineres
Den tilsvarende afbildning
er da en lineær transformation.
Afbildningen
er en lineær transformation
(jf. Egenskab (2.) og
(3.) i Lemma 3.11).
Lad betegne en ikke-tom mængde og betegne et
-vektorrum. Vælg . Evalueringsafbildningen
er en lineær transformation (se Eksempel 5.4(d.) for
definition af ).
Lad betegne produktet af -vektorrummene
og . Projektionsafbildningen
for og , er da en lineær transformation.
I det følgende betragtes , og
som -vektorrum, som beskrevet i Eksempel 5.4
og Eksempel 5.7. Herudover, så betegner
den komplekse konjugation af et komplekst
tal .
Hvilke af følgende afbildninger er lineære transformationer?
hvor betegner en lineær transformation
6.1 Mængden af lineære transformationer som vektorrum
For givne -vektorrum og der vil vi i det
følgende anvende notationen for mængden
af lineære transformationer fra til .
Vi bemærker, at er en delmængde af
-vektorrummet (se evt. Eksempel 5.4(d.)), og faktisk er det et underrum:
Jf. Eksempel 6.4(a.), så indeholder
neutralementet i . Vi skal
derfor blot vise, at
er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Lad nu betegne lineære
transformationer. Vi skal vise, at summen er
lineær. Men for , der har vi, at
mens hvis , så
Dermed er en lineær transformation. Lad nu , og
lad os vise, at er en lineær transformation. Vi
finder da, med notation som ovenfor, at
og
Altså er en lineær transformation, og beviset er
afsluttet.
6.2 Kerner og billeder
Følgende egenskaber ved lineære transformationer producerer mange
vigtige eksempler på underrum.
Lad betegne en lineær transformation mellem to
-vektorrum og . Så gælder
Hvis er et underrum
i , så er billedet af et underrum
i .
Hvis er et underrum
i , så er urbilledet et underrum i
.
(1):
I første omgang er
jf. Korollar 6.3(1.), og
indeholder dermed
neutralelementet. Vi skal derfor vise, at
er stabil overfor addition og skalarmultiplikation.
Lad og betegne elementer i . Så
eksisterer der og i , så , for . Idet er lineær må
idet (idet er et
vektorrum). Dermed er stabil overfor addition. Idet
der, for , samtidig gælder, at
så er også stabil overfor skalarmultiplikation, og vi
har dermed vist, at er et underrum i .(2): Idet er lineær, så gælder der
ifølge Korollar 6.3(1.), at
og dermed er et element i . Vi skal dermed blot vise, at
er stabil overfor addition og
skalarmultiplikation. Lad derfor og betegne
elementer i , og lad . Da er
og elementer i , og da er et
vektorrum, og er lineær, så opnås
samt
hvilket viser stabiliteten over addition og skalarmultiplikation.
I dette afsnit har vi, indtil videre, været påpasselige med at anvende forskellig
notation om neutralelementerne
og i vektorrummene og .
En fælles notation giver dog sjældent
anledning til misforståelser, og vi
vælger derfor fra nu af at anvende
notationen om neutralelementet
i et arbitrært vektorrum.
[Kernen af en lineær transformation]
For en lineær transformation
defineres kernen som
urbilledet .
Som en umiddelbar konsekvens af Proposition 6.7 finder vi:
Lad betegne en lineær transformation. Da er
kernen et underrum i , mens billedet er et
underrum i .
Lad , og betragt den tilsvarende lineære
afbildning
Billedet af består af mængden af elementer på formen
, hvilket er identisk med søjlerummet
introduceret i Afsnit 5.2.1. Kernen er derimod
mængden af , med ; dvs.
løsningerne til det homogene lineære ligningssystem . I Eksempel 5.7(b.) kaldte vi også denne mængde for
nulrummet til ; dvs. . Vi
opnår hermed et nyt bevis for, at nulrummet
er et underrum i .
Betragt en lineær transformation
som i Eksempel 6.4(e.). Billedet af er da identisk med
spannet , og vi opnår dermed
et nyt argument for, at er
et underrum i .
Lad betegne en lineær transformation, og lad
betegne en samling af elementer i . Så vil
Dette følger af
Proposition 6.2.
Betragt differentiationsafbildningen
Kernen for er da mængden af konstante funktioner. Alle kontinuerte funktioner på
har en stamfunktion, og dermed er
billedet af lig . Vektorrummene og , bestående
af polynomielle funktioner, er alle underrum af
. De tilsvarende billeder under er givet ved
,
.
Vektorrummene og er også underrum af ,
og de tilsvarende urbilleder under er lig
,
.
Lad betegne produktet af -vektorrummene
og . Projektionsafbildningen ,
defineret i Eksempel 6.4(l.), er en lineær transformation med
billede lig og kerne lig .
Urbilledet til et underrum i , er lig .
Kernen for en lineær transformation er relateret
til injektiviteten af .
En lineær transformation er injektiv hvis og
kun hvis .
Hvis er injektiv, så består urbilledet af
maksimalt et element. Men ifølge Korollar 6.9 så er
et underrum af , og
indeholder derfor neutralelementet i . Hvis er
injektiv, så er derfor nødvendigvis lig
mængden .Antag nu omvendt, at . Vi ønsker da at vise, at er injektiv. Så antag,
at for elementer . Idet
vil . Dermed er , og derfor er som ønsket.
Lad betegne en matrix, og lad
betegne den tilsvarende lineære transformation,
jf. Eksempel 6.4(d.). I Eksempel 6.10(1.) fandt vi, at kernen
for er lig nulrummet til .
Specielt er injektiv hvis og kun hvis
. Når , så er dette
ækvivalent med, at er invertibel, jf.
Proposition 4.6.
6.3 Sammensætning af lineære transformationer
En vigtig egenskab ved begrebet lineær transformation er, at
det er bevaret under sammensætning:
Lad og betegne lineære
transformationer mellem -vektorrum og . Så er
sammensætningen
også en lineær transformation.
Vi lader og og tjekker
samt
Dermed er en lineær transformation.
Lad og ,
og betragt de tilsvarende lineære transformationer
Så er sammensætningen også en
lineær transformation. Faktisk er
givet ved
og dermed er identisk med den
lineære transformation givet
ved matrixmultiplikation med .
6.4 Invertible lineære afbildninger
Vi har ovenfor indikeret, hvordan afbildninger kan bruges til at
sammenligne mængder. Den stærkeste sammenhæng mellem to -vektorrum
og opnås, når der eksisterer en invertibel lineær
transformation mellem dem. Vi definerer:
[Isomorfier og isomorfe vektorrum]
En invertibel lineær transformation kaldes for
en lineær isomorfi
(eller blot en isomorfi). Såfremt der eksisterer en lineær
isomorfi mellem to -vektorrum og ,
så siger vi, at er isomorf med
.
At isomorfibegrebet er en symmetrisk egenskab mellem og , er en
konsekvens af følgende resultat.
Såfremt en lineær transformation er
invertibel, så er den inverse afbildning
også en lineær transformation.
Lad og . Idet respekterer
addition, så
Ved at anvende på begge sider af denne
identitet, så opnår vi, at
og respekterer derfor addition. Tilsvarende respekterer
skalarmultiplikation, og derfor
så
og respekterer derfor også skalarmultiplikation. Vi
konkluderer, at er en lineær transformation.
Vi kan nu bevise, at isomorfibegrebet
udgør en ækvivalensrelation; dvs.:
Lad , og betegne -vektorrum. Så:
er isomorf med .
Hvis er isomorf med , så er
isomorf med .
Hvis er isomorf med og er isomorf med ,
så er isomorf med .
Egenskab (1.) følger, idet
identitetsafbildningen er en invertibel
lineær transformation. Egenskab (3.)
følger, idet en sammensætning af invertible lineære
transformationer og er
en invertibel lineær transformation (jf.
Proposition 6.13). Endelig følger
egenskab (2.), idet den inverse
afbildning , til en invertibel lineær
transformation , er invertibel og lineær
(jf. Proposition 6.16).
Fremover siger vi derfor blot, at og er
isomorfe, såfremt der eksisterer en lineær
isomorfi mellem dem.
At to -vektorrum og er isomorfe, betyder, at deres
egenskaber som vektorrum er identiske. Begrebet isomorfi kan derfor opfattes som en svag form
af identisk.
Vektorrummet af reelle polynomier af grad er
isomorf med . Som lineær isomorfi kan vi, med notation som i
Eksempel 6.4(e.), anvende afbildningen
hvor (se
evt. Korollar B.15).
Lad betegne matricen i hvis
te indgang er lig , mens alle andre indgange er lig .
Med notation som i Eksempel 6.4(e.) vil , med
da definere en lineær isomorfi mellem -vektorummene
og .
Afbildningen
er en lineær isomorfi.
Lad og betegne to -vektorrum. Produkterne og er da isomorfe. Som isomorfi kan vi
vælge den lineære transformation givet ved
for alle og .
Produktet af et -vektorrum med
nulvektorrummet er isomorf med . Som isomorfi kan
vi vælge den lineære transformation givet ved
for alle .
For en samling af tre -vektorrum , og kan man
konstruere flere forskellige produkter; f.eks. , eller produktet af vektorrummet med . Det er oplagt,
at alle disse vektorrum er isomorfe.
Pr. symmetri er det tilstrækkeligt at vise, at . Hvis er dette oplagt, og vi kan derfor
antage, at . Lad nu betegne en
lineær isomorfi. Hvis , så vil ligeledes være lig
, idet er surjektiv. I givet fald har og
begge dimension lig . Vi kan derfor også antage, at har
dimension . Specielt eksisterer der elementer
, så
Dermed er
ifølge Eksempel 6.10(3.). Vi konkluderer,
at kan udspændes af elementer, og dermed
er
som ønsket.
Lad betegne et -vektorrum af dimension
. Angiv hvilke af følgende udsagn der er sande
Hvis er isomorf til , så er
Hvis er isomorf til , så er
Hvis er isomorf til , så
er også isomorf til
-vektorrummene og
er isomorfe
6.5 Lineære transformationer mellem vektorrum
af typen
I det ovenstående har vi flere gange betragtet
lineære transformationer af typen
for en given matrix . Vi
vil nu bevise, at ethvert element i har denne form for en entydig bestemt
matrix .
Lad betegne en
lineær transformation. Så eksisterer der en
entydig matrix , så
. Faktisk er matricen, hvis
'te søjle er lig , for , hvor
betegner standardbasiselementerne for .
Start med at bemærke, at hvis for en
matrix , så vil
hvor betegner den 'te søjle i
, jf. (5.23). Specielt vil
en matrix der opfylder
nødvendigvis være lig matricen,
hvis 'te søjle er , for
.Lad nu omvendt betegne
matricen, hvis 'te søjle er lig ,
for . Idet
så følger det af Proposition 6.2,
at
hvor det sidste lighedstegn følger af (5.23). Specielt er ,
hvilket afslutter beviset.
Matricen med der er beskrevet i Lemma 6.23, kaldes også for standardmatrixrepræsentationen
af .
Som beskrevet i Lemma 6.23 så er på formen
for en passende matrix . Eksempel 6.10(1.) fortæller
derfor, at er identisk med løsningsmængden til det homogene
lineære ligningsssystem . Specielt, vil ifølge Proposition 1.18, og dermed er
ikke injektiv ifølge Sætning 6.11.
Vi har tidligere set, at og kun er
isomorfe, når . Når , så er isomorfierne
beskrevet ved:
Lad betegne
en lineær transformation. Antag at
for en kvadratisk matrix .
Så er en
lineær isomorfi hvis og kun hvis
er en invertibel matrix. I givet fald,
så er den inverse til
funktionen .
Lad Mat betegne en reel invertibel matrix, og
lad
betegne den tilsvarende lineære transformation.
Antag, at
Angiv L.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Hvis er en lineær isomorfi, så er
specielt injektiv, og dermed er kernen
lig , jf. Sætning 6.11.
Men er, ifølge Eksempel 6.10(1.),
lig nulrummet for , og dermed har
det lineære
ligningssystem den
entydige løsning . Ifølge Proposition 4.6 er dermed invertibel.Antag modsat, at er invertibel. Så
eksisterer , og idet
og tilsvarende
for alle , så vil være invertibel med invers .