6 Lineære transformationer

Hvis man ønsker at sammenligne to givne mængder $X$ og $Y$ , så er det ofte nyttigt at studere mængden af afbildninger mellem disse mængder. Hvis f.eks. $X$ og $Y$ er endelige mængder, så vil de indeholde det samme antal elementer hvis og kun hvis der eksisterer en bijektiv afbildning $X \rightarrow Y$ mellem dem. Tilsvarende vil $X$ indeholde færre, eller det samme, antal elementer som $Y$ , såfremt der eksisterer en injektiv afbildning $X \rightarrow Y$ . Når $X$ og $Y$ har en ekstra struktur, som f.eks. i form af $\mathbb{F}$ -vektorrum, så er det fornuftigt kun at betragte afbildninger, der respekterer denne struktur. For vektorrum er den fornuftige definition:

[Lineær transformation] Lad $V$ og $W$ betegne $\mathbb{F}$ -vektorrum. En afbildning

$L : V \rightarrow W \tag{6.1}$ kaldes en lineær transformation (fra $V$ til $W$ ), eller en lineær afbildning, hvis følgende identiteter er opfyldt for alle $\bm{u}, {\bm{v}} \in V$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ :

$L(\bm{u} + {\bm{v}}) = L(\bm{u}) + L({\bm{v}})$ .
$L(\alpha \cdot {\bm{v}} ) = \alpha \cdot L({\bm{v}})$ .

Såfremt $V=W$ , så kaldes $L$ også for en lineær operator (på $V$ ).

Lad $L : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ betegne en afbildning mellem de reelle vektorrum $\mathbb{R}$ og $\mathbb{R}^2$ . Angiv hvornår $L$ er en lineær transformation.

$L(t)= t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \\$ for $t \in \mathbb{R}$

$L(t)= t^2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \\$ for $t \in \mathbb{R}$

$L(t)= t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \\$ for $t \in \mathbb{R}$

$L(t)= t^2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \\$ for $t \in \mathbb{R}$

Egenskab (1.) og (2.) i Definition 6.1 omtales kort, som at $L$ respekterer hhv. addition og skalarmultiplikation. Vi skynder os at bemærke følgende egenskaber ved lineære transformationer:

Lad $V$ og $W$ betegne $\mathbb{F}$ -vektorrum, og lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation. Lad derudover ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ betegne elementer i $V$ og $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ betegne skalarer. Så gælder der, at

$L \Bigl( \sum_{i =1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i \Bigr) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot L({\bm{v}}_i). \tag{6.2}$

Bevis

Vi argumenterer via induktion i $n$ . Hvis $n=1$ , så følger udsagnet fra Definition 6.1 (2.). Antag derfor, at $n>1$ og at udsagnet er vist i tilfælde med $n-1$ summander. Så

$\begin{aligned} L\Bigl(\sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i \Bigr) & = L \biggl(\Bigl(\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i\Bigr) + (\alpha_n \cdot {\bm{v}}_n) \biggr) & & \\ & = L \Bigl(\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i\Bigr) + L(\alpha_n \cdot {\bm{v}}_n) & \hskip .2 cm & \text{(pr. Defn.} \href{#def:linafbgen}{6.1}\href{#item:def:linafbgen:I}{(1.)}) \\ & = \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \cdot L({\bm{v}}_i) + \alpha_n \cdot L({\bm{v}}_n) & & \text{(pr. induktion og Defn. \href{#def:linafbgen}{6.1}\href{#item:def:linafbgen:II}{(2.)})} \\ & = \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot L({\bm{v}}_i), & & \text{} \end{aligned}$ hvilket afslutter beviset.

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ . Så:

$L(\bm{0}_V) = \bm{0}_W$ .
$L(-{\bm{v}})=-L({\bm{v}})$ , for alle ${\bm{v}} \in V$ .

Bevis

Jf. Proposition 5.2 (1.) er $0 \cdot \bm{0}_V = \bm{0}_V$ , og dermed

$L(\bm{0}_V) = L( 0 \cdot \bm{0}_V) = 0 \cdot L(\bm{0}_V) = \bm{0}_W,$ ifølge Proposition 5.2 (1.). Tilsvarende så implicerer Definition 6.1 (2.), at

$L((-1) \cdot {\bm{v}}) = (-1) \cdot L({\bm{v}}),$ og Korollar 6.3 (2.) følger da af Proposition 5.2 (3.).

Afbildningen $L : V \rightarrow W$ defineret ved $L({\bm{v}}) = \bm{0}_W$ , for alle ${\bm{v}} \in V$ , er en lineær transformation.
For et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ er identitetsafbildningen ${\rm Id}_V : V \rightarrow V$ en lineær operator.
For et underrum $U$ af et vektorrum $V$ er afbildningen
$\begin{aligned} \iota : U & \rightarrow V \\ u & \mapsto u, \end{aligned}$ en lineær transformation.
Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Den tilhørende afbildning
$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^m, \\ {\bm{v}} & \mapsto A \cdot {\bm{v}}, \end{aligned}$ er en lineær transformation. Dette følger af identiteterne
$A \cdot (\bm{u} + {\bm{v}}) = A \cdot \bm{u} + A \cdot {\bm{v}},$ og
$A \cdot (\alpha \cdot {\bm{v}}) = \alpha \cdot (A \cdot {\bm{v}}).$
Lad $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum, og lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n)$ betegne en samling af elementer i $V$ . Afbildningen
$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{F}^n & \rightarrow V, \\ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n, \end{aligned}$ er da en lineær transformation.
Lad betegne mængden af kontinuert differentiable funktioner på et åbent interval i . Ethvert element i har dermed en kontinuert differentialkvotient . Den tilsvarende afbildning
er en lineær transformation idet (for alle og )
1. $D(f+g) = (f+g)'=f'+g'=D(f)+D(g)$ .
2. $D(\alpha \cdot f) = (\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f' = \alpha \cdot D(f)$ .
Lad betegne et lukket interval. Enhver kontinuert reel funktion på kan integreres over . Den tilhørende afbildning
er en lineær transformation idet (for alle og )
1. $\int_a^b (f(t)+g(t)) \, dt = \int_a^b f(t) ~dt + \int_a^b g(t) \,dt$ .
2. $\int_a^b(\alpha \cdot f(t)) \, dt = \alpha \cdot \int_a^b f(t) \,dt$ .
Lad $I$ betegne et åbent interval i $\mathbb{R}$ . For en kompleks funktion $f \in C^{(1)}(I,\mathbb{C})$ defineres den tilsvarende differentialkvotient ved
$f' = (\mathrm{Re}(f))' + (\mathrm{Im}(f))' \cdot {i} \in C(I,\mathbb{C}), \tag{6.3}$ hvilket giver mening, idet $\mathrm{Re}(f), \mathrm{Im}(f) \in C^{(1)}(I,\mathbb{R})$ , jf. Eksempel 5.7. Den tilsvarende afbildning
$\begin{aligned} D : C^{(1)}(I,\mathbb{C}) & \rightarrow C(I,\mathbb{C}), \\ f & \mapsto f', \end{aligned}$ er da en lineær transformation.
For et lukket interval $I=[ a, b ]$ og en kompleks funktion $f \in C(I,\mathbb{C})$ defineres
$\int_a^b f(t) \,dt = \int_a^b (\mathrm{Re}(f))(t) \,dt + {i} \cdot \int_a^b (\mathrm{Im}(f))(t) \,dt \in \mathbb{C}. \tag{6.4}$ Den tilsvarende afbildning
$\begin{aligned} C(I,\mathbb{C}) & \rightarrow \mathbb{C}, \\ f & \mapsto \int_a^b f(t) \,dt, \end{aligned}$ er da en lineær transformation.
Afbildningen
$\begin{aligned} \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) & \rightarrow \mathrm{Mat}_{n,m}(\mathbb{F}), \\ A & \mapsto A^T, \end{aligned}$ er en lineær transformation (jf. Egenskab (2.) og (3.) i Lemma 3.11).
Lad $X$ betegne en ikke-tom mængde og $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum. Vælg $a \in X$ . Evalueringsafbildningen
$\begin{aligned} \mathrm{e}_a : \mathcal{F}(X,V) & \rightarrow V, \\ f & \mapsto f(a), \end{aligned}$ er en lineær transformation (se Eksempel 5.4 (d.) for definition af $\mathcal{F}(X,V)$ ).
Lad $V \times W$ betegne produktet af $\mathbb{F}$ -vektorrummene $V$ og $W$ . Projektionsafbildningen
$\begin{aligned} P_W : V \times W & \rightarrow W, \\ (v,w) & \mapsto w, \end{aligned}$ for $v \in V$ og $w \in W$ , er da en lineær transformation.

Quiz

I det følgende betragtes $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ og $C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ som $\mathbb{R}$ -vektorrum, som beskrevet i Eksempel 5.4 og Eksempel 5.7. Herudover, så betegner $\overline{z}$ den komplekse konjugation af et komplekst tal $z$ . Hvilke af følgende afbildninger er lineære transformationer?

$\begin{aligned} L: C(\mathbb{R}, \mathbb{R}) &\to C(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \\ f &\mapsto e^{f} \end{aligned}$

$\begin{aligned} L: \mathbb{C} &\to \mathbb{R}, \\ z &\mapsto z \cdot \overline{z} \end{aligned}$

$\begin{aligned} L: \mathbb{C}^{2} &\to \mathbb{R}^{2}, \\ (x,y) &\mapsto (T(x),T(y)) \end{aligned}$ hvor $T$ betegner en lineær transformation $T: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$

$\begin{aligned} L: C(\mathbb{R}, \mathbb{R}) &\to \mathbb{R}, \\ f &\mapsto f(0) \end{aligned}$

$\begin{aligned} L: \mathbb{R} &\to \mathbb{R}, \\ x &\mapsto x^{2} \end{aligned}$

6.1 Mængden af lineære transformationer som vektorrum

For givne $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ der vil vi i det følgende anvende notationen $\mathcal L(V,W)$ for mængden af lineære transformationer fra $V$ til $W$ . Vi bemærker, at $\mathcal L(V,W)$ er en delmængde af $F$ -vektorrummet $\mathcal{F}(V,W)$ (se evt. Eksempel 5.4 (d.)), og faktisk er det et underrum:

Mængden $\mathcal L(V,W)$ er et underrum i $\mathcal{F}(V,W)$ .

Bevis

Jf. Eksempel 6.4 (a.), så indeholder $\mathcal L(V,W)$ neutralementet i $\mathcal{F}(V,W)$ . Vi skal derfor blot vise, at $\mathcal L(V,W)$ er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Lad nu $f, g \in \mathcal L(V,W)$ betegne lineære transformationer. Vi skal vise, at summen $f+g \in \mathcal{F}(V,W)$ er lineær. Men for $\bm{u}, {\bm{v}} \in V$ , der har vi, at

$\begin{aligned} (f+g)(\bm{u} + {\bm{v}}) & = f(\bm{u} + {\bm{v}}) + g(\bm{u} + {\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af sum i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \\ & = f(\bm{u}) + f({\bm{v}}) + g(\bm{u}) + g({\bm{v}}) & & \text{(idet } f \text{ og } g\text{ er lineære)} \\ & = f(\bm{u}) + g(\bm{u}) + f({\bm{v}}) + g({\bm{v}}) & & \text{(idet addition er kommutativ)} \\ & = (f+g)(\bm{u}) + (f+g)({\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af sum i } \mathcal{F}(V,W) \text{)}, \end{aligned}$

mens hvis $\alpha \in \mathbb{F}$ , så

$\begin{aligned} (f+g)(\alpha \cdot {\bm{v}}) & = f(\alpha \cdot {\bm{v}}) + g(\alpha \cdot {\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af sum i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \\ & = \alpha \cdot f({\bm{v}}) + \alpha \cdot g({\bm{v}}) & \hskip .2 cm & \text{(idet } f \text{ og } g \text{ er lineære)} \\ & = \alpha \cdot (f({\bm{v}}) + g({\bm{v}})) & & \text{(pr. Defn. \href{kap5.html#def:nvekt}{5.1}\href{kap5.html#item:def:nvekt:5}{(e.)} )} \\ & = \alpha \cdot (f+g)({\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af sum i } \mathcal{F}(V,W) \text{).} \\ \end{aligned}$

Dermed er $f+g$ en lineær transformation. Lad nu $\beta \in \mathbb{F}$ , og lad os vise, at $\beta \cdot f$ er en lineær transformation. Vi finder da, med notation som ovenfor, at

$\begin{aligned} (\beta \cdot f)(\bm{u} + {\bm{v}}) & = \beta \cdot f(\bm{u} + {\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af skalarmult. i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \\ & = \beta \cdot (f(\bm{u}) + f({\bm{v}})) & \hskip .2 cm & \text{(idet }f\text{ er lineær)} \\ & = \beta \cdot f(\bm{u}) + \beta \cdot f({\bm{v}}) & & \text{(pr. Defn. \href{kap5.html#def:nvekt}{5.1}\href{kap5.html#item:def:nvekt:5}{(e.)}) } \\ & = (\beta \cdot f)(\bm{u}) + (\beta \cdot f)({\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af skalarmult. i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \end{aligned}$ og

$\begin{aligned} (\beta \cdot f)(\alpha \cdot {\bm{v}}) & = \beta \cdot f(\alpha \cdot {\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af skalarmult. i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \\ & = \beta \cdot ( \alpha \cdot f({\bm{v}})) & \hskip .2 cm & \text{(idet }f\text{ er lineær)} \\ & = (\beta \alpha ) \cdot f({\bm{v}}) & & \text{(pr. Defn. \href{kap5.html#def:nvekt}{5.1}\href{kap5.html#item:def:nvekt:7}{(g.)} ) } \\ & = (\alpha \beta) \cdot (f({\bm{v}})) & & \text{(idet mult. er kommutativ i }\mathbb{F}\text{)} \\ & = \alpha \cdot ( \beta \cdot f({\bm{v}})) & & \text{(pr. Defn. \href{kap5.html#def:nvekt}{5.1}\href{kap5.html#item:def:nvekt:7}{(g.)} )} \\ & = \alpha \cdot ( \beta \cdot f)({\bm{v}}) & & \text{(pr. defn. af skalarmult. i } \mathcal{F}(V,W) \text{)} \end{aligned}$ Altså er $\beta \cdot f$ en lineær transformation, og beviset er afsluttet.

6.2 Kerner og billeder

Følgende egenskaber ved lineære transformationer producerer mange vigtige eksempler på underrum.

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation mellem to $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ . Så gælder

Hvis $\tilde V$ er et underrum i $V$ , så er billedet $L(\tilde V)$ af $\tilde V$ et underrum i $W$ .
Hvis $\tilde W$ er et underrum i $W$ , så er urbilledet $L^{-1}(\tilde W)$ et underrum i $V$ .

Bevis

(1): I første omgang er

$\bm{0}_W = L(\bm{0}_V) \in L(\tilde V), \tag{6.5}$ jf. Korollar 6.3 (1.), og $L(\tilde V)$ indeholder dermed neutralelementet. Vi skal derfor vise, at $L(\tilde V)$ er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Lad $\bm{w}_1$ og $\bm{w}_2$ betegne elementer i $L(\tilde V)$ . Så eksisterer der ${\bm{v}}_1$ og ${\bm{v}}_2$ i $\tilde V$ , så $L({\bm{v}}_i)= \bm{w}_i$ , for $i=1,2$ . Idet $L$ er lineær må

$\bm{w}_1+\bm{w}_2 = L({\bm{v}}_1) + L({\bm{v}}_2) = L({\bm{v}}_1+ {\bm{v}}_2) \in L(\tilde V), \tag{6.6}$ idet ${\bm{v}}_1+{\bm{v}}_2 \in \tilde V$ (idet $\tilde V$ er et vektorrum). Dermed er $L(\tilde V)$ stabil overfor addition. Idet der, for $\alpha \in \mathbb{F}$ , samtidig gælder, at

$\alpha \cdot \bm{w}_1 = \alpha \cdot L({\bm{v}}_1) = L(\alpha \cdot {\bm{v}}_1) \in L(\tilde V), \tag{6.7}$ så er $L(\tilde V)$ også stabil overfor skalarmultiplikation, og vi har dermed vist, at $L(\tilde V)$ er et underrum i $W$ .

(2): Idet $L$ er lineær, så gælder der ifølge Korollar 6.3 (1.), at

$L(\bm{0}_V) = \bm{0}_W \in \tilde W, \tag{6.8}$ og dermed er $\bm{0}_V$ et element i $L^{-1}(\tilde W)$ . Vi skal dermed blot vise, at $L^{-1}(\tilde W)$ er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Lad derfor ${\bm{v}}_1$ og ${\bm{v}}_2$ betegne elementer i $L^{-1}(\tilde W)$ , og lad $\alpha \in \mathbb{F}$ . Da er $L({\bm{v}}_1)$ og $L({\bm{v}}_2)$ elementer i $\tilde W$ , og da $\tilde W$ er et vektorrum, og $L$ er lineær, så opnås

$L({\bm{v}}_1 + {\bm{v}}_2) = L({\bm{v}}_1) + L({\bm{v}}_2) \in \tilde W, \tag{6.9}$ samt

$L(\alpha \cdot {\bm{v}}_1) = \alpha \cdot L({\bm{v}}_1) \in \tilde W, \tag{6.10}$ hvilket viser stabiliteten over addition og skalarmultiplikation.

I dette afsnit har vi, indtil videre, været påpasselige med at anvende forskellig notation om neutralelementerne $\bm{0}_V$ og $\bm{0}_W$ i vektorrummene $V$ og $W$ . En fælles notation giver dog sjældent anledning til misforståelser, og vi vælger derfor fra nu af at anvende notationen $\bm{0}$ om neutralelementet i et arbitrært vektorrum.

[Kernen af en lineær transformation] For en lineær transformation $L : V \rightarrow W$ defineres kernen $\ker(L)$ som urbilledet $L^{-1}(\{ \bm{0} \})$ .

Som en umiddelbar konsekvens af Proposition 6.7 finder vi:

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation. Da er kernen $\ker(L)$ et underrum i $V$ , mens billedet $L(V)$ er et underrum i $W$ .

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , og betragt den tilsvarende lineære afbildning
$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^m, \\ {\bm{v}} & \mapsto A \cdot {\bm{v}}. \end{aligned}$ Billedet af $L_A$ består af mængden af elementer på formen $L_A({\bm{v}}) = A \cdot {\bm{v}}$ , hvilket er identisk med søjlerummet $R(A)$ introduceret i Afsnit 5.2.1. Kernen er derimod mængden af ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ , med $A \cdot {\bm{v}} = \bm{0}$ ; dvs. løsningerne til det homogene lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ . I Eksempel 5.7 (b.) kaldte vi også denne mængde for nulrummet til $A$ ; dvs. $\ker(L_A) = N(A)$ . Vi opnår hermed et nyt bevis for, at nulrummet $N(A)$ er et underrum i $\mathbb{F}^n$ .
Betragt en lineær transformation
$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{F}^n & \rightarrow V, \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n, \end{aligned}$ som i Eksempel 6.4 (e.). Billedet af $L_\mathcal{V}$ er da identisk med spannet $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ , og vi opnår dermed et nyt argument for, at $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er et underrum i $V$ .
Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær transformation, og lad ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ betegne en samling af elementer i $V$ . Så vil
$L\big( \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n) \big) = \mathrm{Span}\big( L({\bm{v}}_1), L({\bm{v}}_2),\ldots, L({\bm{v}}_n) \big).$ Dette følger af Proposition 6.2.
Betragt differentiationsafbildningen
Kernen for er da mængden af konstante funktioner. Alle kontinuerte funktioner på har en stamfunktion, og dermed er billedet af lig . Vektorrummene og , bestående af polynomielle funktioner, er alle underrum af . De tilsvarende billeder under er givet ved
1. $D(P(\mathbb{R})) = P(\mathbb{R})$ ,
2. $D(P_n(\mathbb{R})) = P_{n-1}(\mathbb{R})$ .
Vektorrummene og er også underrum af , og de tilsvarende urbilleder under er lig
1. $D^{-1}(P(\mathbb{R})) = P(\mathbb{R})$ ,
2. $D^{-1}(P_{n-1}(\mathbb{R})) = P_{n}(\mathbb{R})$ .
Lad $V \times W$ betegne produktet af $\mathbb{F}$ -vektorrummene $V$ og $W$ . Projektionsafbildningen $P_W : V \times W \rightarrow W$ , defineret i Eksempel 6.4 (l.), er en lineær transformation med billede lig $W$ og kerne lig $V \times\left\{\bm{0}\right\}$ . Urbilledet $P_W^{-1}(U)$ til et underrum $U$ i $W$ , er lig $V \times U$ .

Kernen for en lineær transformation $L : V \rightarrow W$ er relateret til injektiviteten af $L$ .

En lineær transformation $L : V \rightarrow W$ er injektiv hvis og kun hvis $\ker(L) = \left\{\bm{0}\right\}$ .

Bevis

Hvis $L$ er injektiv, så består urbilledet $L^{-1}(\left\{\bm{0}\right\})$ af maksimalt et element. Men ifølge Korollar 6.9 så er $L^{-1}(\left\{\bm{0}\right\})$ et underrum af $V$ , og $L^{-1}(\left\{\bm{0}\right\})$ indeholder derfor neutralelementet $\bm{0}$ i $V$ . Hvis $L$ er injektiv, så er $\ker(L)$ derfor nødvendigvis lig mængden $\left\{\bm{0}\right\}$ .

Antag nu omvendt, at $\ker(L)= \left\{\bm{0}\right\}$ . Vi ønsker da at vise, at $L$ er injektiv. Så antag, at $L(\bm{u})=L({\bm{v}})$ for elementer $\bm{u}, {\bm{v}} \in V$ . Idet

$L({\bm{v}} - \bm{u}) = L({\bm{v}}) - L(\bm{u}) = \bm{0}, \tag{6.11}$ vil ${\bm{v}} - \bm{u} \in \ker(L)$ . Dermed er ${\bm{v}}-\bm{u}=\bm{0}$ , og derfor er $\bm{u}={\bm{v}}$ som ønsket.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne en matrix, og lad

$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^m, \\ {\bm{v}} & \mapsto A \cdot {\bm{v}}, \end{aligned}$ betegne den tilsvarende lineære transformation, jf. Eksempel 6.4 (d.). I Eksempel 6.10 (1.) fandt vi, at kernen for $L_A$ er lig nulrummet $N(A)$ til $A$ . Specielt er $L_A$ injektiv hvis og kun hvis $N(A) = \{ \bm{0} \}$ . Når $n=m$ , så er dette ækvivalent med, at $A$ er invertibel, jf. Proposition 4.6.

6.3 Sammensætning af lineære transformationer

En vigtig egenskab ved begrebet lineær transformation er, at det er bevaret under sammensætning:

Lad $L: U \rightarrow V$ og $T : V \rightarrow W$ betegne lineære transformationer mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum $U, V$ og $W$ . Så er sammensætningen

$T \circ L : U \rightarrow W \tag{6.12}$ også en lineær transformation.

Bevis

Vi lader $\alpha \in \mathbb{F}$ og $\bm{u}, {\bm{v}} \in U$ og tjekker

$\begin{aligned} (T \circ L)(\bm{u} + {\bm{v}}) & = T\big( L(\bm{u}) + L({\bm{v}})\big) & & \text{(idet }L\text{ er lineær)} \\ & = T(L(\bm{u})) + T(L({\bm{v}})) & & \text{(idet }T\text{ er lineær)} \\ & = (T \circ L)(\bm{u} ) + (T \circ L) ({\bm{v}}), & & \\ \end{aligned}$ samt

$\begin{aligned} (T \circ L)( \alpha \cdot \bm{u} ) & = T\big( \alpha \cdot L(\bm{u})\big) & & \text{(idet }L\text{ er lineær)} \\ & = \alpha \cdot T(L(\bm{u})) & & \text{(idet }T\text{ er lineær)} \\ & = \alpha \cdot (T \circ L)(\bm{u} ). & & \end{aligned}$ Dermed er $T \circ L$ en lineær transformation.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $B \in \mathrm{Mat}_{l,m}(\mathbb{F})$ , og betragt de tilsvarende lineære transformationer

$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^m, & L_B : \mathbb{F}^m & \rightarrow \mathbb{F}^l, \\ {\bm{v}} & \mapsto A \cdot {\bm{v}} & \bm{u} & \mapsto B \cdot \bm{u}. \end{aligned}$ Så er sammensætningen $L_B \circ L_A$ også en lineær transformation. Faktisk er $L_B \circ L_A$ givet ved

$\big(L_B \circ L_A \big)({\bm{v}}) = L_B\big( A \cdot {\bm{v}} \big) = B \cdot (A \cdot {\bm{v}}) = (B \cdot A) \cdot {\bm{v}}, \tag{6.13}$ og dermed er $L_B \circ L_A$ identisk med den lineære transformation $L_{B \cdot A}$ givet ved matrixmultiplikation med $B \cdot A$ .

6.4 Invertible lineære afbildninger

Vi har ovenfor indikeret, hvordan afbildninger kan bruges til at sammenligne mængder. Den stærkeste sammenhæng mellem to $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ opnås, når der eksisterer en invertibel lineær transformation mellem dem. Vi definerer:

[Isomorfier og isomorfe vektorrum] En invertibel lineær transformation $L : V \rightarrow W$ kaldes for en lineær isomorfi (eller blot en isomorfi). Såfremt der eksisterer en lineær isomorfi $L: V \rightarrow W$ mellem to $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ , så siger vi, at $V$ er isomorf med $W$ .

At isomorfibegrebet er en symmetrisk egenskab mellem $V$ og $W$ , er en konsekvens af følgende resultat.

Såfremt en lineær transformation $L : V \rightarrow W$ er invertibel, så er den inverse afbildning $L^{-1} : W \rightarrow V$ også en lineær transformation.

Bevis

Lad $\alpha \in \mathbb{F}$ og $\bm{w}, \bm{w}' \in W$ . Idet $L$ respekterer addition, så

$\begin{aligned} L\big( L^{-1}(\bm{w}) + L^{-1}(\bm{w}')\big) & = L\big(L^{-1}(\bm{w}) \big) + L\big(L^{-1}(\bm{w}') \big) \\ & = \bm{w}+\bm{w}'. \end{aligned}$ Ved at anvende $L^{ -1 }$ på begge sider af denne identitet, så opnår vi, at

$L^{-1}(\bm{w}+\bm{w}') = L^{-1}(\bm{w}) + L^{-1}(\bm{w}'),$ og $L^{-1}$ respekterer derfor addition. Tilsvarende respekterer $L$ skalarmultiplikation, og derfor

$\begin{aligned} L\big( \alpha \cdot L^{-1}(\bm{w}) \big) & = \alpha \cdot L\big(L^{-1}(\bm{w}) \big) \\ & = \alpha \cdot \bm{w} , \end{aligned}$ så

$L^{-1}(\alpha \cdot \bm{w}) = \alpha \cdot L^{-1}(\bm{w}),$ og $L^{-1}$ respekterer derfor også skalarmultiplikation. Vi konkluderer, at $L^{-1}$ er en lineær transformation.

Vi kan nu bevise, at isomorfibegrebet udgør en ækvivalensrelation; dvs.:

Lad $U$ , $V$ og $W$ betegne $\mathbb{F}$ -vektorrum. Så:

$U$ er isomorf med $U$ .
Hvis $U$ er isomorf med $V$ , så er $V$ isomorf med $U$ .
Hvis $U$ er isomorf med $V$ og $V$ er isomorf med $W$ , så er $U$ isomorf med $W$ .

Bevis

Egenskab (1.) følger, idet identitetsafbildningen ${\rm Id}_U: U \rightarrow U$ er en invertibel lineær transformation. Egenskab (3.) følger, idet en sammensætning $T \circ L$ af invertible lineære transformationer $L : U \rightarrow V$ og $T : V \rightarrow W$ er en invertibel lineær transformation (jf. Proposition 6.13). Endelig følger egenskab (2.), idet den inverse afbildning $L^{-1} : V \rightarrow U$ , til en invertibel lineær transformation $L : U \rightarrow V$ , er invertibel og lineær (jf. Proposition 6.16).

Fremover siger vi derfor blot, at $V$ og $W$ er isomorfe, såfremt der eksisterer en lineær isomorfi $L : V \rightarrow W$ mellem dem. At to $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ er isomorfe, betyder, at deres egenskaber som vektorrum er identiske. Begrebet isomorfi kan derfor opfattes som en svag form af identisk.

Vektorrummet $P_n(\mathbb{R})$ af reelle polynomier af grad $<n$ er isomorf med $\mathbb{R}^n$ . Som lineær isomorfi kan vi, med notation som i Eksempel 6.4 (e.), anvende afbildningen
$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{R}^n & \rightarrow P_n(\mathbb{R}), \\ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 + \alpha_2 \cdot X + \cdots + \alpha_n \cdot X^{n-1}, \end{aligned}$ hvor $\mathcal{V}=(1,X,X^2,\ldots,X^{n-1})$ (se evt. Korollar B.15).
Lad $E_{i,j}$ betegne matricen i $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ hvis $(i,j)'$ te indgang er lig $1$ , mens alle andre indgange er lig $0$ . Med notation som i Eksempel 6.4 (e.) vil $L_\mathcal{V}$ , med
$\mathcal{V} = ( E_{1,1}, E_{1,2}, \ldots, E_{1,n}, E_{2,1}, E_{2,2}, \ldots, E_{2,n}, \ldots, E_{m,n}), \tag{6.14}$ da definere en lineær isomorfi mellem $\mathbb{F}$ -vektorummene $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $\mathbb{F}^{nm}$ .
Afbildningen
$\begin{aligned} \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) & \rightarrow \mathrm{Mat}_{n,m}(\mathbb{F}),\\ A & \mapsto A^T \end{aligned}$ er en lineær isomorfi.
Lad $V$ og $W$ betegne to $\mathbb{F}$ -vektorrum. Produkterne $V \times W$ og $W \times V$ er da isomorfe. Som isomorfi kan vi vælge den lineære transformation givet ved
$\begin{aligned} V \times W & \rightarrow W \times V, \\ (v,w) & \mapsto (w,v) \end{aligned}$ for alle $v \in V$ og $w \in W$ .
Produktet $V \times \{ \bm{0} \}$ af et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ med nulvektorrummet $\{ \bm{0} \}$ er isomorf med $V$ . Som isomorfi kan vi vælge den lineære transformation givet ved
$\begin{aligned} V & \rightarrow V \times \{ \bm{0} \}, \\ v & \mapsto (v,\bm{0}) \end{aligned}$ for alle $v \in V$ .
For en samling af tre $\mathbb{F}$ -vektorrum $U$ , $V$ og $W$ kan man konstruere flere forskellige produkter; f.eks. $U \times V \times W$ , $V \times W \times U$ eller produktet $\big (U \times V) \times W$ af vektorrummet $U \times V$ med $W$ . Det er oplagt, at alle disse vektorrum er isomorfe.

Quiz

Lad $V, W$ og $U$ betegne $\mathbb{F}$ -vektorrum, og lad $L: V \rightarrow W$ og $T: W \rightarrow U$ betegne lineære transformationer. Antag, at $T(W)=U$ og at $V$ og $W$ er isomorfe. Hvad kan man da konkludere?

Hvis $U=V$ , så er $L\circ T$ en lineær transformation.

$L$ er en isomorfi.

Hvis $T$ er en isomorfi, så er $V$ er isomorf med $U$ .

Hvis $V=\mathbb{F}^{n}$ , da er $W=\mathbb{F}^{n}$

$T$ er injektiv.

$\mathrm{dim}(V)= \mathrm{dim}(W)$ .

Lad $V$ og $W$ betegne isomorfe vektorrum. Så er

$\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(W).$

Bevis

Pr. symmetri er det tilstrækkeligt at vise, at $\mathrm{dim}(W) \leq \mathrm{dim}(V)$ . Hvis $\mathrm{dim}(V) = \infty$ er dette oplagt, og vi kan derfor antage, at $\mathrm{dim}(V)<\infty$ . Lad nu $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær isomorfi. Hvis $V=\{ \bm{0} \}$ , så vil $W$ ligeledes være lig $\{ \bm{0} \}$ , idet $L$ er surjektiv. I givet fald har $V$ og $W$ begge dimension lig $0$ . Vi kan derfor også antage, at $V$ har dimension $n= \mathrm{dim}(V) >0$ . Specielt eksisterer der $n$ elementer ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ , så

$V = \mathrm{Span}({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n).$ Dermed er

$W = L(V) = \mathrm{Span}\big(L({\bm{v}}_1),L({\bm{v}}_2), \ldots, L({\bm{v}}_n) \big),$ ifølge Eksempel 6.10 (3.). Vi konkluderer, at $W$ kan udspændes af $n$ elementer, og dermed er

$\mathrm{dim}(W) \leq n = \mathrm{dim}(V),$ som ønsket.

Hvis $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ er isomorfe, så er $n=m$ .

Bevis

Ifølge Proposition 5.19 har $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ dimension hhv. $n$ og $m$ . Hvis $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ er isomorfe, så må vi dermed have, at $n=m$ , jf. Proposition 6.20.

Quiz

Lad $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum af dimension $n$ . Angiv hvilke af følgende udsagn der er sande

Hvis $V$ er isomorf til $\mathbb{F}^7$ , så er $n=7$

Hvis $V$ er isomorf til $\mathrm{Mat}_{3,2}(\mathbb{F})$ , så er $n=5$

Hvis $V$ er isomorf til $\mathrm{Mat}_{3,2}(\mathbb{F})$ , så er $V$ også isomorf til $\mathbb{F}^6$

$\mathbb{F}$ -vektorrummene $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{F})$ og $P_4(\mathbb{F})$ er isomorfe

6.5 Lineære transformationer mellem vektorrum af typen $\mathbb{F}^n$

I det ovenstående har vi flere gange betragtet lineære transformationer af typen

$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^m, \\ {\bm{v}} & \mapsto A \cdot {\bm{v}}, \end{aligned}$ for en given matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Vi vil nu bevise, at ethvert element i $\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)$ har denne form for en entydig bestemt matrix $A$ .

Lad $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne en lineær transformation. Så eksisterer der en entydig matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , så $L = L_A$ . Faktisk er $A$ matricen, hvis $i$ 'te søjle er lig $L(\bm{e}_i)$ , for $i=1,2, \ldots,n$ , hvor $\bm{e}_1,\bm{e}_2,\ldots, \bm{e}_n$ betegner standardbasiselementerne for $\mathbb{F}^n$ .

Bevis

Start med at bemærke, at hvis $L=L_A$ for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , så vil

$L(\bm{e}_i) = L_A(\bm{e}_i) = A \cdot \bm{e}_i= \bm{a}_i, \tag{6.15}$ hvor $\bm{a}_i$ betegner den $i$ 'te søjle i $A$ , jf. (5.23). Specielt vil en matrix $A$ der opfylder $L=L_A$ nødvendigvis være lig matricen, hvis $i$ 'te søjle er $L(\bm{e}_i)$ , for $i=1,2,\ldots,n$ .

Lad nu omvendt $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne matricen, hvis $i$ 'te søjle er lig $L(\bm{e}_i)$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Idet

$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \alpha_1 \cdot \bm{e}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{e}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{e}_n,$ så følger det af Proposition 6.2, at

$L\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \alpha_1 \cdot L(\bm{e}_1) + \alpha_2 \cdot L(\bm{e}_2) + \cdots + \alpha_n \cdot L(\bm{e}_n)= A \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix},$ hvor det sidste lighedstegn følger af (5.23). Specielt er $L=L_A$ , hvilket afslutter beviset.

Matricen $A=\begin{pmatrix} L(\bm{e}_1) | L(\bm{e}_2) | \cdots | L(\bm{e}_n) \end{pmatrix}$ med $L=L_A$ der er beskrevet i Lemma 6.23, kaldes også for standardmatrixrepræsentationen af $L$ .

Quiz

Det oplyses, at

$\begin{aligned} L : \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R}^2, \\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & \mapsto \begin{pmatrix} 3 x + 4 y + 2z \\ 6x-2y+9z \end{pmatrix} \end{aligned}$ er en lineær transformation af $\mathbb{R}$ -vektorrum. Angiv standardmatrixrepræsentationen for $L$

Dit svar: Det er en

Vi kan nu reformulere Proposition 1.18:

Lad $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne en lineær transformation med $n>m$ . Så er $L$ ikke injektiv. Specielt er $\ker(L) \neq \left\{\bm{0}\right\}$ .

Bevis

Som beskrevet i Lemma 6.23 så er $L$ på formen $L_A$ for en passende matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Eksempel 6.10 (1.) fortæller derfor, at $\ker(L)$ er identisk med løsningsmængden til det homogene lineære ligningsssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ . Specielt, vil $\ker(L) \neq \left\{\bm{0}\right\}$ ifølge Proposition 1.18, og dermed er $L$ ikke injektiv ifølge Sætning 6.11.

Vi har tidligere set, at $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ kun er isomorfe, når $n=m$ . Når $n=m$ , så er isomorfierne beskrevet ved:

Lad $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n$ betegne en lineær transformation. Antag at $L=L_A$ for en kvadratisk matrix $A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ . Så er $L$ en lineær isomorfi hvis og kun hvis $A$ er en invertibel matrix. I givet fald, så er $L_{A^{-1}}$ den inverse til funktionen $L$ .

Lad $A \in$ Mat $_{3}(\mathbb{R})$ betegne en reel invertibel matrix, og lad

$\begin{aligned} L_{A}: \mathbb{R}^{3} &\to \mathbb{R}^{3}, \\ v &\mapsto A\cdot v. \end{aligned}$ betegne den tilsvarende lineære transformation. Antag, at

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 5 \end{pmatrix}.$ Angiv $L_{A}^{-1}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} -$ L $_{A}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Dit svar: Det er en

Bevis

Hvis $L$ er en lineær isomorfi, så er $L$ specielt injektiv, og dermed er kernen $\ker(L)$ lig $\{ \bm{0} \}$ , jf. Sætning 6.11. Men $\ker(L)$ er, ifølge Eksempel 6.10 (1.), lig nulrummet $N(A)$ for $A$ , og dermed har det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ den entydige løsning $\{ \bm{0} \}$ . Ifølge Proposition 4.6 er $A$ dermed invertibel.

Antag modsat, at $A$ er invertibel. Så eksisterer $A^{-1}$ , og idet

$\big(L_A \circ L_{A^{-1}}\big) ({\bm{v}}) = L_A( A^{-1} \cdot {\bm{v}}) = (A \cdot A^{-1}) \cdot {\bm{v}} = {\bm{v}}, \tag{6.16}$ og tilsvarende

$\big(L_{A^{-1}} \circ L_{A}\big) ({\bm{v}}) = {\bm{v}}, \tag{6.17}$ for alle ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ , så vil $L$ være invertibel med invers $L_{A^{-1}}$ .

6 Lineære transformationer

6.1 Mængden af lineære transformationer som vektorrum

6.2 Kerner og billeder

6.3 Sammensætning af lineære transformationer

6.4 Invertible lineære afbildninger

6.5 Lineære transformationer mellem vektorrum af typen \mathbb{F}^n

6.5 Lineære transformationer mellem vektorrum af typen $\mathbb{F}^n$